Background

Persamaan Linear



Persamaan Linear

1. Definisi
Program Linear adalah suatu program untuk menyelesaikan permasalahn yang batas-batasannya berbentuk pertidaksamaan linear. Secara umum program linear terdiri dari dua bagian, yaitu : fungsi kendala dan fungsi objektif. Fungsi kendala adalah batasan – batasan yang dipenuhi, sedangkan fungsi objektif adalah fungsi yang nilainya akan dioptimumkan (dimaksimumkan adan diminimumkan). Dalam program linear ini, batasan – batasan (kendala–kendala ) yang terdapat didalam masalah program linear diterjemahkan terlebih dahulu kedalam bentuk perumusan matematika, yang disebut model matematika.
Model matematika adalah suatu bentuk interpretasi manusia dalam menerjemahkan atau merumuskan persoalan persoalan yang ada ke bentuk matematika sehingga persoalan itu dapat diselesaikan secara matematis.
Contoh :
Seorang pelamar disebuah perusahaan dinyatakan diterima bekerja di perusahaan jika memenuhi syarat syarat jumlah hasil tes akademik dan tes psikologi tidak boleh kurang dari 14 dan nilai masing masing hasil tes tersebut tidak boleh kurang dari 6. Buatlah model matematika untuk permasalahan tersebut.
Pembahasan :
Misalnya nilai tes akademik = x dan nilai tes psikologi = y. dari syarat pertama diperoleh hubungan x + y ≥ 14 dan dari syarat kedua diperoleh hubungan x ≥ 6 dan y ≥ 6. Jadi model matematika untuk menentukan seorang pelamar dinyatakan diterima bekerja di perusahaan tersebut adalah :
x + y ≥ 14
x ≥ 6
y ≥ 6 dengan x, y ϵ C.
Masalah Program linier adalah mengenai optimalisasi dengan keterbatasan tertentu. Keterbatasan dan optimalisasi ini harus dibentuk dahulu model matematikanya ;
yang secara garis besar dibagi 2 bagian :
- constraint ( Persyaratan )
- objective Function (Fungsi Tujuan / Sasaran)

Langkah
- Tentukan variabelnya (x=... ; y = ....)
- Buat model matematikanya dari : 1) Fungsi tujuan dan 2) Persyaratan
- Tentukan daerah yang memenuhi persyaratannya
- Tentukan titik esktrim daerah tersebut
- Substitusi koordinat titik ekstrim ke fungsi tujuan
- Bandingkan nilai yang didapat
- Jawaban disesuaikan dengan pertanyaan (maksimum/minimum)

contoh :

MASALAH MAKSIMUM

1. Seorang pedagang akan membuat kue A dan B. Kue A membutuhkan    150 gr tepung dan 50 gr mentega. Kue B membutuhkan 75 gr tepung    dan 75 gr mentega. Tepung yang tersedia ada 2250 gr dan mentega    yang tersedia ada 1750 gr. Jika kue A memberi keuntungan Rp 100,00    dan kue B Rp 125,00 tiap unitnya. Berapa keuntungan maksimum    yang mungkin diperoleh pedagang itu ?

   Tabel
Kue A
Kue B
Tersedia
Tepung
Mentega
150
50
75
75
2250
1750
KEUNTUNGAN
100
125

    Misalkan banyaknya kue A yang dibuat x buah dan kue B yang dibuat     y buah, maka persoalan menjadi :

   Maksimumkan :
   f(x,y) = 100x + 125y (fungsi objektif/keuntungan)

   dengan syarat (ds):
   150x + 75y £ 2250 ® 2x + y £ 30 ...(1)
   50 x + 75y £ 1750 ® 2x + 3y £ 70 ...(2)
   x,y ³ 0
   catatan : bentuk persyaratan £
Titik Ekstrim

A(0,23 1/3) ; B(15,0) ; (5,20)
f(x,y) = 100x + 125y
f(A) = 100(0) + 125(23) = 2875
(dalam hal ini roti tidak pecahan)
f(B) = 100(15) + 125(0) = 1500
f(C) = 100(5) + 125(20) = 3000

Jadi keuntungan maksimum pedagang itu adalah Rp 3.000,00 ; yaitu dengan membuat 5 unit kue A dan 20 unit kue B.
2. Seorang penjahit pakaian mernpunyai persediaan barang katun 16 m,     sutera 11 m dan wool 15 m.
    Model pakaian I membutuhkan 2 m katun, 1 m sutera dan 1 m wool     per unit. Model pakaian II membutuhkan 1 m
    katun, 2 m sutera dan 3 m wool per unit.Keuntungan pakaian model I     Rp 3.000,00 dan model pakaian II Rp 5.000,00 per unit.
    Tentukan berapa banyak masing-masing pakaian harus dibuat agar     didapat keuntungan yang sebesar-besarnya ?

Tabel
Model I
Model II
Tersedia
Katun
Sutera
Wool
2
1
1
1
2
3
16
11
15
KEUNTUNGAN
3000
5000


Misalkan : Banyaknya model I yang dibuat = x
                             model II yang dibuat = y


Maksimumkan f (x,y) = 3000x + 5000y

ds : 2x + y £ 16 (1)
      x + 2y £ 11 (2)
      x + 3y £ 15 (3)
      x;y ³ 0

Titik Ekstrim
A(0,23 1/3) ; B(15,0) ; (5,20)
f(x,y) = 100x + 125y
f(A) = 100(0) + 125(23) = 2875
(dalam hal ini roti tidak pecahan)
f(B) = 100(15) + 125(0) = 1500
f(C) = 100(5) + 125(20) = 3000A(8,0) ® TP antara garis (1) dengan sb-x
B(7,2) ® TP antara garis (1) dengan (2)
C(3,4) ® TP antara garis (2) dengan (3)
D(0,5) ® TP antara garis (3) dengan sb-y

f (x,y) = 3000x + 5000y
A(8,0) ® TP antara garis (1) dengan sb-x
B(7,2) ® TP antara garis (1) dengan (2)
C(3,4) ® TP antara garis (2) dengan (3)
D(0,5) ® TP antara garis (3) dengan sb-y

f (x,y) = 3000x + 5000y

f(A) = f(8,0) = 3000(8) + 5000(0) = 24.000
f (B) = f(7,2) = 3000(7) + 5000(2) = 31.000
f(C) = f(3,4) = 3000(3) + 5000(4) = 29.000
f(D) = f(0,5) = 3000(0) + 5000(5) = 25.000

Jadi keuntungan maksimum adalah Rp 31.000; yaitu dengan membuat 7 buah model pakaian I dan 2 buah model pakaian II.

MASALAH MINIMUM

3)Dalam satu minggu tiap orang membutuhkan paling sedikit 16 unit    protein , 24 unit karbohidrat dan 18 unit lemak Makanan A    mengandung protein, karbohidrat dan lemak berturut-turut 4, 12 dan    2 unit setiap kg. Makanan B mengandung protein, karbohidrat dan    lemak berturut turut 2 , 2 dan 6 unit setiap kg. Berapa kg    masing- masing makanan harus dibeli setiap minggunya, agar    kebutuhan terpenuhi, tetapi dengan biaya semurah-murahnya, bila 1    kg makanan A harganya Rp 1.700,00 dan 1 kg makanan B harganya    Rp 800,00 ?

Tabel
A
B
Kebutuhan
Protein
Karbohidrat
Lemak
4
12
2
2
2
6
16
24
15
HARGA
1700
800



Misalkan : Banyaknya makanan A yang dibeli adalah x kg
              Banyaknya makanan B yang dibeli adalah y kg

Minimumkan f (xy) = 1700x + 800y
ds : 4x + 2y ³ 16 ® 2x + y ³ 8 (1)
     12x + 2y ³ 24 ® 6x + y ³ 12 (2
     2x + 6y ³ 18                   ®   x + 3y ³ 9 (3)
     (Catatan : Bentuk persyaratan ³ )

Titik Ekstrim

A (0,12) adalah titik potong antara garis (2) dan sumbu y.
B (1, 6) adalah titik potong antara garis (1) dan garis (2).
C (3, 2) adalah titik potong antara garis (1) dan garis (3).
D (9, 0) adalah titik potong antara garis (3) dan sumbu y.

f (x,y) = 1700x + 800y

f(A) = f(0,12) = 1700(0) + 800(12) = 9600
f(B) = f(1, 6) = 1700 (1) + 800( 6 ) = 6500
f(C) = f(3, 2) = 1700(3) + 800( 2 ) = 6700
f(D) = f(9, 0) = 1700(9) + 800( 0 ) = 15300

Jadi biaya minimum adalah Rp 6.500; yaitu dengan membeli 1 kg makanan A dan 6 kg makanan B.
Untuk menyelesaikan soal cerita (penerapan dari system persamaan linear dua variabel), perlu dibuatkan model matematika. Model matematika merupakan terjemahan soal cerita dalam bentuk persamaan matematika.
Langkah-langkahnya :
1. Simak soal cerita dengan baik, kemudian nyatakan variabel yang belum diketahui dalam x dan y.
2. Buatlah persamaannya.
Contoh 1 :
Diketahui keliling sebuah persegi panjang adalah 60 cm. jika panjang dan lebarnya memiliki selisih 6 cm, buatlah model matematikanya !
Jawab :
Misal : panjang = x cm dan lebarnya = y cm.
Keliling : selisih :
2p + 2l = K p – l = 6
2x + 2y = 60 x – y = 6 ………………………….(2)
x + y = 30…………….(1)
model matematikanya x + y = 30 dan x – y = 6.

Menyelesaikan soal cerita
Contoh :
Harga 3 mangkuk bakso dan 3 gelas es the Rp. 15.000,00 dan 4 mangkuk bakso dan 3 gelas es teh harganya Rp. 19.000,00. Tentukan harga 1 mangkuk bakso dan 1 gelas es teh?
Jawab :
Misal : Harga 1 mangkuk bakso adalah x,
Harga 1 gelas es teh adalah y.
Maka, model matematika system persamaan linearnya:
3x + 3y = 15.000
4x + 3y = 19.000
Model ini dapat diselesaikan dengan cara eliminasi dan substitusi.
Eliminasi y :
3x + 3y = 15.000
4x + 3y = 19.000
-x = - 4000
x = 4000
substitusikan x = 4000 ke persamaan 3x + 3y = 15.000

Diposting oleh di
Categories: Share
Show 0 Comments Show widget

Leave a Reply